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阿喀琉斯(Achilles)悖论

阿喀琉斯是史诗《伊利亚特》里的希腊英雄. 有一天他碰到一只乌龟, 乌龟嘲笑他说: “别人都说你厉害, 但你如果跟我赛跑, 还追不上我.”

阿喀琉斯大笑说:” 这怎么可能. 我就算跑得再慢, 速度也有你的10倍, 哪会追不上你 ?”

乌龟说:“好,那我们假设一下。你离我有100米,你的速度是我的10倍。现在你来追我了,但当你跑到我现在这个位置,也就是跑了100米的时候,我也已经又向前跑了10米。当你再追到这个位置的时候,我又向前跑了1米,你再追1米,我又跑了1/10米……总之,你只能无限地接近我,但你永远也不能追上我。”

这是世界闻名的“芝诺悖论”(之一), 哲学家们曾经从各种角度多方面地阐述过这个命题. 这个命题令人困扰的地方, 就在于它采用了一种无限分割空间的办法, 使得我们无法跳过这个无限去谈问题, 虽然从数学上, 我们知道无限次相加可以限制在有限的值里面,但是数学方法的前提已经预设了问题是“可以解决”的, 从本质上来说, 它只能告诉我们“怎么做”, 而不能告诉我们“能不能做到”.

 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

—亚里士多德, 物理学 VI:9, 239b15

如柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑。首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑”数学派”所代表的毕达哥拉斯的”1>0.999…, 1-0.999…>0″思想。然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的”1=0.999…, 但1-0.999…>0″思想。最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的”1-0.999…=0, 或1-0.999…>0″思想。”

解释:

1. 量子论: 量子论表明, 空间不一定能够这样无限分割下去。量子效应使得空间和时间的连续性丧失了,芝诺所连续无限次分割的假设并不能够总是成立。这样一来,芝诺悖论便不攻自破了。量子论告诉我们,“无限分割”的概念是一种数学上的理想,而不可能在现实中实现。一切都是不连续的,连续性的美好蓝图,也许不过是我们的一种想象。

2. 时间为客观存在, 而非距离所规定. 芝诺悖论隐藏了时间的概念.